** En lien avec la SES

Une entreprise produit et vend des composants électroniques.
Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 1 000 et 30 000 pièces. On suppose que toute la production est commercialisée.
Le bénéfice, en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de  \(x\) milliers de pièces est donné sur l’intervalle  \([1\ ;30]\) par \(B(x) = -0,5x^2 + 6x - 20 + 2x \ln (x).\)

1. a. On admet que la fonction \(B\)  est deux fois dérivable sur \([1\ ;30]\) . Montrer que, pour tout réel \(x\)  de l'intervalle \([1\ ;30]\) , on a \(B''(x)=-1+\dfrac{2}{x}\) .
    b. Dresser le tableau complet des variations de \(B'\)  sur \([1\ ;30]\) .
2. a. Montrer que l'équation \(B'(x)=0\)  admet une unique solution \(\alpha\)  sur \([1\ ;30]\)  et donner une valeur approchée au millième de \(\alpha\) .
    b. Déterminer le signe de  \(B'(x)\)  sur \([1\ ;30]\) .
3. a. Dresser le tableau complet des variations de \(B\)  sur   \([1\ ;30]\) .
    b. Quel est le nombre de pièces à produire, à l’unité près, pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal ?